Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 – 2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm giá trị của x để P = 1.
Câu2 ( 3 điểm) : Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:

a) Giải hệ phương trình với m =1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 ( 3 điểm ): Cho x, y thoả mãn: (x +
Hãy tính tổng S = x + y.

Câu 4 (3 điểm):
Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện:
Hãy tính giá trị của biểu thức: P =
Câu 5 (5 điểm ): Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A.
a. Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp.
b. Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA.
c. Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R.
Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
với x ( 1, y ( 1
Hướng dẫn chấm
Câu
ý
Định Hướng giải
Điểm

1
4đ
a
2.5đ
đk

0,5



Ta có:
0,5



=
1



= Vậy P =
0,5


b
1.5đ
Ta thấy P = 1
1



Vậy với x = 25 thì P = 1
0,5

2
a.
1đ
 Với m = 1 hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
trở thành

Giải ra ta được x = 0 , y =1

0,5


0.5


b
2đ

Hệ luôn có nghiệm duy nhất
Vì từ (2)
Thay vào (1) ta được:
(m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1

(m2 + m + 1)x = m3 – 1
Mà m2 + m + 1 =
Hệ có nghiệm duy nhất là:

Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m – 2
=
=
Dấu “=” xảy ra
Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP



0.25

0.25

0.25

0.25

0.25
0.25
0.5

3
3đ

Ta có:


Vậy
(*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x ( 0 => y ( 0 từ (*) => => xy < 0
Vậy => 2009x2 = 2009y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y ( 0


0,5


0.5

0.5

0.5
0.5

0.5

5
5đ
a














 Ta có: (M’N’N = (M’BA (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
mà (M’BA = (BMN ( (M’N’N = (BMN
( (M’MN + (M’N’N = (M’MN + (BMN = 1800
( Tứ