Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn
Kỳ thi chọn đội tuyển
dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

đề bài

Bài 1 ( 4 điểm): Cho biểu thức:
A =
a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b, Rút gọn A.
c, Tìm x để A < 2.
Bài 2 (3 điểm): Giải phương trình sau:

Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với a > 0 ta có:

Bài 4 (3 điểm): Cho hai số dương x và y thoả mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x2y2(x2 + y2)
Bài 5 (4.5điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M di động trên đường tròn đó ( M khác A, B). Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là D và C.
a, Chứng minh CD // AB.
b, Chứng minh MN là phân giác của góc AMB.
c, Gọi giao điểm thứ hai của MN với đường tròn (O) là K. Chứng minh tích KM.KN không đổi.
Bài 6 (2.5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm I bất kỳ.
a, Hãy nêu cách xác định điểm M trên đường thẳng AB, điểm N trên đường thẳng AC sao cho I là trung điểm của MN.
b, Cho biết IA = 6 cm; BC = 10 cm, hãy tính chu vi tam giác AMN.





hướng dẫn chấm
Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh
năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Bài
ý
Nội dung
Điểm

1
4đ
a
Điều kiện x ( 0; x ( 4
0.5


b
A =
=
=




0.5

0.5


0.5


c
Ta có A < 2 và x ( 0; x ( 4




0.5



+ Trường hợp 1:

0.5



+ Trường hợp 2:

0.5



Kết hợp với điều kiện ta có x > 4 hoặc 0 ≤ x < thì A < 2.
0.5

2
3đ

Ta có:
Thật vậy:
luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ab ( 0.



0.5



Phương trình đã cho tương đương với:

áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta được:
(1)
Dấu “=” xảy ra khi (x – 2008)(2010-x) ( 0

Luôn có: (2)
Dấu bằng xảy ra khi x = 2009
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

Dấu bằng xảy ra khi x = 2009
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2009



1





1

0.5

3
3đ


Biến đổi vế trái ta được:




0.5



áp dụng BĐT Côsi ta có:

Và a2 + 1 ( 2a ( a > 0)

1


1



Vậy

0.5

4
3đ

Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được:
xy ( vì